Графы. Применение графов к решению задач. Построение графов на основе их характеристик Постройте как можно более полный граф

Нуль-граф и полный граф.

Существуют некоторые специальные графы, вcтречающиеся во многих приложениях теории графов. Будем пока опять рассматривать граф как наглядную схему, иллюстрирующую ход спортивных состязаний. До начала сезона, пока еще никакие игры не проводились, на графе нет никаких ребер. Такой граф состоит из одних изолированных вершин, т.е. из вершин,соединенных никакими ребрами. Граф такого вида мы будем называть нуль-графом . На рис. 3 приведены такие графы для случаев, когда число команд, или вершин, равно 1, 2, 3, 4 и 5. Эти нуль-графы обычно обозначаются символами О1, О2, О3 и т.д., так что Оn-это нуль-граф с n вершинами, не имеющий ребер.

Рассмотрим другой крайний случай. Предположим, что по окончании сезона каждая команда сыграла по одному разу с каждой из осталыных команд. Тогда на соответствующем графе каждая пара вершин будет соединена ребром. Такой граф называется полным графом . На рис.4 изображены полные графы с числом вершин n = 1, 2, 3, 4, 5. Мы обозначаем эти полные графы соответственно через U1, U2, Uз,U4 и U5, так что граф Un состоит из 11 вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Этот граф можно представпять себе как n-угольник, в котором проведены все диагонали.

Имея некоторый граф, например граф G, изображенный на рис. 1, мы всегда можем превратить его в полный граф с теми же самыми вершинами, добавив недостающие ребра (т. е. ребра, соответствующие играм, которые только еще будут сыграны). На рис. 5 мы сделали это для графа рис. 1 (еще не состоявшиеся игры изображены пунктиром). Можно также отдельно начертить граф, соответствующий пока еще не сыгранным, будущим играм. Для графа G при этом получится граф, изображенный на рис. 6.

Этот новый граф мы называем дополнением графа G; принято обозначать его через G1. Взяв дополнение графа G1, мы снова получим граф G. Ребра обоих графов G1 и G вместе составляют полный граф.

Формат графического файла — это способ представления графических данных на внешнем носителе. Различают растровые и векторные форматы графических файлов, среди которых, в свою очередь, выделяют универсальные графические форматы и собственные (оригинальные) форматы графических приложений .

Универсальные графические форматы «понимаются» всеми приложениями, работающими с растровой (векторной) графикой.

Универсальным растровым графическим форматом является формат BMP . Графические файлы в этом формате имеют большой информационный объём, так как в них на хранение информации о цвете каждого пикселя отводится 24 бита.

В рисунках, сохранённых в универсальном растровом формате GIF , можно использовать только 256 разных цветов. Такая палитра подходит для простых иллюстраций и пиктограмм. Графические файлы этого формата имеют небольшой информационный объём. Это особенно важно для графики, используемой во Всемирной паутине, пользователям которой желательно, чтобы запрошенная ими информация появилась на экране как можно быстрее.

Универсальный растровый формат JPEG разработан специально для эффективного хранения изображений фотографического качества. Современные компьютеры обеспечивают воспроизведение более 16 миллионов цветов, большинство из которых человеческим глазом просто неразличимы. Формат JPEG позволяет отбросить «избыточное» для человеческого восприятия разнообразие цветов соседних пикселей. Часть исходной информации при этом теряется, но это обеспечивает уменьшение информационного объёма (сжатие) графического файла. Пользователю предоставляется возможность самому определять степень сжатия файла. Если сохраняемое изображение — фотография, которую предполагается распечатать на листе большого формата, то потери информации нежелательны. Если же этот фото — снимок будет размещён на Web-странице, то его можно смело сжимать в десятки раз: оставшейся информации будет достаточно для воспроизведения изображения на экране монитора.

К универсальным векторным графическим форматам относится формат WMF , используемый для хранения коллекции картинок Microsoft.

Универсальный формат EPS позволяет хранить информацию как о растровой, так и о векторной графике. Его часто используют для импорта файлов в программы подготовки полиграфической продукции.

С собственными форматами вы познакомитесь непосредственно в процессе работы с графическими приложениями. Они обеспечивают наилучшее соотношение качества изображения и информационного объёма файла, но поддерживаются (т. е. распознаются и воспроизводятся) только самим создающим файл приложением.

Задача 1.
Для кодирования одного пикселя используется 3 байта. Фотографию размером 2048 х 1536 пикселей сохранили в виде несжатого файла. Определите размер получившегося файла.

Решение:
i = 3 байта
K= 2048 1536
I — ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (байтов) = 9 (Мб).

Ответ: 9Мб.

Задача 2.
Несжатое растровое изображение размером 128 х 128 пикселей занимает 2 Кб памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Решение:
K = 128 128
I = 2 Кб
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (бит).
N = 2 1 = 2.

Ответ: 2 цвета — чёрный и белый.

Самое главное:

• Формат графического файла — это способ представления графических данных на внешнем носителе. Различают растровые и векторные форматы графических файлов, среди которых, в свою очередь, выделяют универсальные графические форматы и собственные форматы графических приложений.

Теоретические сведения

Отметим, что в задачах на построение решение необходимо искать среди простых неориентированных графов (т.е. графов без кратных ребер и без петель). К сожалению, не существует универсальной методики, позволяющей точно определить, может ли быть построен граф с заданными характеристиками.

Важно помнить, что в любом графе сумма степеней всех его вершин - число четное, равное удвоенному числу ребер графа, так как каждое ребро участвует в этой сумме ровно два раза. Этот результат, известный еще 200 лет назад Эйлеру, часто называют леммой о рукопожатиях. Из нее следует, что если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно, ибо в каждом рукопожатии участвуют две руки (при этом каждая рука считается столько раз, сколько она участвовала в рукопожатиях). Отсюда следует, что:

• число вершин с нечетной степенью у любого графа четно;
• во всяком графе с п вершинами, где п > 2, всегда найдутся по меньшей мере две вершины с одинаковыми степенями;
• если в графе с вершинами п > 2 в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени (п - 1).

При решении задач необходимо очень внимательно читать условие, так как многие прилагательные, описывающие свойства графа, имеют численные эквиваленты. Приведем таблицу таких соответствий, чаще всего встречающихся в формулировке задач (табл. 2.9).

После того как получены все необходимые числительные, нужно попробовать рассчитать недостающие характеристики графа. Иногда в условии приводятся степени всех или нескольких вершин. В этом случае на основе того факта, что каждое ребро графа добавляет к его суммарной степени вершин ровно два, можно воспользоваться формулой

Х 5 (у /) = 2т ’

где т - количество вершин, а суммирование ведется по всем вершинам от 1 до п.

Задачи

Задача 2.42. Построить граф на восьми вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 4; три вершины степени 3; две вершины степени 2; одна вершина степени 1.

Решение.

Суммарная степень всех вершин равна 2-4 + 3- 3 + 2- 2+1 1=22, отсюда следует, что всего 11 ребер. Строить графы на основании вектора степеней проще, начиная с вершин больших степеней. Вер-

Таблица 2.9

Соответствие между описанием графа и его свойствами

Прилагательное	Числительное	Что это значит
		В графе ровно одна компонента связности
Несвязный		В графе более одной компоненты, его диаметр точно равен бесконечности
Регулярный	5(У;) = СОШІ	Степени всех вершин равны
Регулярный степени у	з(Уі)=У	Степени всех вершин равны у. Если известно п (число вершин), то можно сразу рассчитать т (число ребер): т-п? у/2 (п или у должно быть числом четным)
Ациклический	у= т-п + к = 0	Цикломатическое число равно нулю, в графе нет циклов, это - дерево или лес (в зависимости от связности), такие графы всегда можно раскрасить в два цвета. Если известны две переменные из трех (п , т, к), то с помощью формулы можно найти оставшуюся
Дерево(или ациклический связный граф)	у= т- п + 1 =0, откуда т- п - 1	Цикломатическое число равно нулю, в графе нет циклов, это - дерево, такие графы всегда можно раскрасить в два цвета. Если известна одна переменная из двух (п или т), то с помощью формулы можно найти вторую
Бихроматиче-		Хроматическое число графа равно двум, такие графы всегда можно раскрасить в два цвета, это - двудольные графы, графически это или ациклические графы, или графы, у которых все циклы имеют четную длину

шины в графическом представлении графа лучше располагать так, чтобы пересекалось как можно меньше ребер и дуг, а сами вершины были сгруппированы по некоторому признаку подобия. Один из вариантов предложен на рис. 2.8.

Задача 2.43. Построить граф на шести вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 3;

Рис. 2.8.

две вершины степени 2; одна вершина степени 1; одна вершина имеет произвольную степень.

Решение.

Суммарная степень вершин равна 11, следовательно, оставшаяся вершина должна иметь нечетную степень, т.е. 1,3 или 5. Таким образом, возможно построить три разных графа (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

Задача 2.44. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}.

Решение.

Суммарная степень равна 5 + 8 + 3 + 4+1=21. Так как это нечетное число, что противоречит теореме (количество ребер в два раза меньше этого числа, но 21 нацело на 2 не делится).

Ответ. Такого графа не существует.

Задача 2.45. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 1,2, 2, 2, 4, 4, 4, 4}.

Задача 2.46. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {5, 5, 6, 6, 6, 6, 6}.

Задача 2.47. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 1, 1,2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5}.

Задача 2.48. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 7}.

Задача 2.49. Построить граф на шести вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: три вершины степени 5, а другие три вершины - неизвестной степени.

Задача 2.50. Построить граф на десяти вершинах, имеющий ребер в два раза больше, чем вершин, и следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 6; четыре вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины произвольной степени - или обосновать невозможность построения такого графа.

Задача 2.51. Построить граф на десяти вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: одна вершина степени 7; две вершины степени 6; две вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины степени 3; одна вершина степени 2 - или обосновать невозможность построения такого графа.

Задача 2.52. Построить граф на 11 вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: одна вершина степени 7; две вершины степени 6; две вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины степени 3; одна вершина степени 2 - или обосновать невозможность построения такого графа.

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Введение

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами . Точки при этом называются вершинами , а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными .

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема : Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство : Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5 . В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема : Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение . Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство . Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

1736 год, г.Кёнигсберг. Через город протекает река Прегеля. В городе - семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке выше. С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ .

Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.

Виды графов:

1. Ориентированный граф (кратко орграф ) - рёбрам которого присвоено направление.

2. Неориентированный граф - это граф , в котором нет направления линий.

3. Взвешенный граф – дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1.

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2.

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Решение:

Вершины графа - это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева. В данной задача два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение:

Ниже представлен разбор задач.